Розв'яжіть цю задачу - отримаєте мільйон доларів!

8 серпня 1900 на 2-му Міжнародному конгресі математиків в Парижі один з найвидатніших математиків сучасності Давид Гільберт сформулював двадцять три завдання, які багато в чому визначили розвиток математики XX сторіччя. У 2000 році фахівці з Clay Mathematics Institute вирішили, що грішно входити в нове тисячоліття, чи не намітивши нову програму розвитку,-тим більше що від двадцяти трьох проблем Гільберта залишилися лише дві [Ще дві вважаються занадто розпливчастими або нематематичного, ще одна була вирішена частково, а з приводу ще однієї - знаменитої континуум-гіпотези - консенсус поки не досягнуть].

В результаті з'явився знаменитий список з семи завдань, за повне рішення будь-який з яких обіцяно мільйон доларів із спеціально заснованого фонду. Щоб отримати гроші, потрібно опублікувати рішення і почекати два роки; якщо протягом двох років ніхто його не спростує (будьте впевнені - спробують), ви отримаєте мільйон жаданих зелених папірців.

Я спробую викласти суть однієї з цих завдань, а також постараюся (в міру своїх скромних сил) пояснити її складність і важливість. Наполегливо рекомендую зайти на офіційний сайт конкурсу www.claymath.org / millennium ; опубліковані там опису проблем сповнені і цікаві, і саме вони стали головним джерелом при написанні статті.

Гіпотеза Рімана

Одного разу один з моїх наукових керівників, видатний петербурзький алгебраїст Микола Олександрович Вавилов, почав заняття свого спецкурсу з формули

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... = -1/12.

Ні, заняття не було присвячено гіпотезі Рімана, і дізнався я про неї зовсім не від Миколи Олександровича. Але формула, тим не менш, має до гіпотези саме пряме відношення. І що дивно - це позірна абсурдним рівність дійсно вірно. Точніше сказати, не зовсім воно, але диявол деталей теж незабаром буде задоволений.

У 1859 році Бернард Ріман (Bernhard Riemann) опублікував статтю (або, як тоді виражалися, мемуар), якій судилося дуже довге життя. У ній він виклав зовсім новий метод асимптотичної оцінки розподілу простих чисел. В основі методу лежала функція, зв'язок якої з простими числами виявив ще Леонард Ейлер, але яка все ж отримала ім'я математика, продолжившего її на всю комплексну площину: так звана дзета-функція Рімана. Визначається вона дуже просто:

? (s) = 1/1 s + 1/2 s + 1/3 s + 1/3 s + ....

Будь-який студент, який прослухав курс математичного аналізу, тут же скаже, що цей ряд сходиться для всякого речового s> 1. Більше того, він сходиться і для комплексних чисел, речова частина яких більше одиниці. Ще більш того, функція ? (s) - аналітична в цій півплощині.

Розглядати формулу для негативних s здається поганим жартом: ну який сенс складати, наприклад, всі позитивні цілі числа або, тим більше, їх квадрати або куби? Однак комплексний аналіз - уперта наука, і властивості дзета-функції такі, що її можна продовжити на всю площину. Це і було однією з ідей Рімана, викладених у мемуарі 1859. У отриманої функції тільки одна особлива точка (полюс): s = 1, а, наприклад, в негативних речових точках функція цілком визначена. Саме значення аналітично продовженої дзета-функції в точці -1 і висловлює формула, з якої я почав цей розділ.

(Спеціально для патріотів та небайдужих до історії науки людей зазначу в дужках, що, хоча мемуар Бернарда Рімана вніс в теорію чисел багато свіжих ідей, він не був першим дослідженням, в якому розподіл простих чисел вивчалося аналітичними методами. Вперше це зробив наш співвітчизник Пафнутій Львович Чебишев, 24 травня 1848 прочитав в петербурзькій Академії наук доповідь, в якій виклав стали класичними асимптотичні оцінки кількості простих чисел.)

Але повернемося до Ріманом. Йому вдалося показати, що розподіл простих чисел - а це центральна проблема теорії чисел - залежить від того, де дзета-функція звертається в нуль. У неї є так звані тривіальні нулі - в парних негативних числах (-2, -4, -6, ...). Завдання полягає в тому, щоб описати всі інші нулі дзета-функції.

Цей горішок ось вже півтори сотні років не можуть розгризти найталановитіші математики планети.

Правда, мало хто сумнівається в тому, що гіпотеза Рімана вірна. По-перше, чисельні експерименти більш ніж переконливі; про останній з них розповідає стаття Хав'єра Гурдон (Xavier Gourdon), назва якої говорить сама за себе: "Перші 13 жовтня нулів дзета-функції Рімана і обчислення нулів на дуже великій висоті" (друга частина назви означає, що запропонований метод обчислення не тільки першим нулів, а й деяких, нехай і не всіх, більш далеких, аж до нулів з номером близько 10 24). Ця робота поки вінчає більш ніж столітню історію спроб перевірки гіпотези Рімана для деякої кількості перших нулів. Зрозуміло, контрприкладів до гіпотези Рімана не знайдено. Крім того, строго встановлено, що більше 40% нулів дзета-функції гіпотезі задовольняють.

Другий аргумент нагадує один з доказів існування Бога, спростованих ще Іммануілом Кантом. Якщо Ріман все ж помилився, то невірної стане дуже багато красивого і правдоподібною математики, побудованої в припущенні, що гіпотеза Рімана правильна. Так, цей аргумент не має наукової ваги, але все ж ... математика - це наука, де краса відіграє ключову роль. Красиве, але невірне доказ часто-густо виявляється корисніше, ніж вірне, але негарне. Так, наприклад, з невдалих спроб довести велику теорему Ферма виросло не одне напрямок сучасної алгебри. І ще одне естетичне зауваження: теорема, аналогічна гіпотезі Рімана, була доведена в алгебраїчній геометрії. Отримана теорема ДЕЛІНА (Deligne) по праву вважається одним з найскладніших, красивих і важливих результатів математики XX сторіччя.

Отже, гіпотеза Рімана, по всій видимості, вірна - але не доведена. Хто знає, можливо, зараз цей журнал читає людина, якій судилося увійти в історію математики, довівши гіпотезу Рімана. У будь-якому випадку, як і з усіма іншими великими завданнями, відразу попереджаю: не намагайтеся повторити ці трюки будинку. Іншими словами, не намагайтеся вирішувати великі проблеми, не зрозумівши теорії, яка їх оточує. Заощадите нерви і собі, і оточуючим.

На десерт - ще трохи цікавого про дзета-функції. Виявляється, у неї є і практичні застосування, і навіть фізичний зміст. Більш того, і гіпотеза Рімана (точніше кажучи, її узагальнення, що вважається настільки ж складною, як і вона сама) має прямі практичні наслідки. Наприклад, однією з важливих обчислювальних задач є перевірка чисел на простоту (дано число, потрібно сказати, просте воно чи ні). Самий теоретично швидкий на даний момент алгоритм вирішення цього завдання - тест Міллера-Рабіна (Miller-Rabin test) - працює за час O (log 4 n), де n - дане число (відповідно log n - довжина входу алгоритму). Однак доказ того, що він працює так швидко, спирається на гіпотезу Рімана.

Втім, тест на простоту - не надто складна проблема з точки зору теорії складності (в 2002 році був розроблений не залежний від гіпотези Рімана алгоритм, який повільніше тесту Міллера-Рабіна, але теж поліноміален). Розкладати числа на прості співмножники набагато цікавіше (і прямі криптографічні додатки наявності - стійкість схеми RSA залежить від того, чи можна швидко розкласти число на прості), і тут гіпотеза Рімана теж є необхідною умовою для доказу оцінок часу роботи деяких швидких алгоритмів.

Звернемося до фізики. У 1948 році голландський вчений Хендрік Казимир (Hendrik Casimir) передбачив ефект, що носить тепер його ім'я [Ефект Казимира довгий час залишався лише витонченої теоретичної ідеєю; проте в 1997 році Стів Ламоре (Steve K. Lamoreaux), Умар Мохідін (Umar Mohideen) і Анушрі Руа (Anushri Roy) змогли провести підтверджують попередню теорію експерименти]. Виявляється, якщо зблизити дві незаряджені металеві пластини на відстань у кілька атомних діаметрів, вони притягнуться один до одного за рахунок флуктуацій розташованого між ними вакууму - постійно народжуються пар частинок і античастинок. Цей ефект чимось нагадує тяжіння підпливли дуже близько один до одного судів в океані (ще більше він нагадує теорію Стівена Хокінга [Stephen Hawking] про те, що чорні діри все ж випромінюють енергію, - втім, тут важко сказати, хто кого нагадує) . Розрахунки фізичної моделі цього процесу показують, що сила, з якою притягуються пластини, повинна бути пропорційна сумі частот стоячих хвиль, що виникають між пластинами. Ви вже здогадалися - ця сума зводиться до суми 1 +2 +3 +4 + .... І більше того - правильним значенням цієї суми для розрахунків ефекту Казимира є саме -1/12.